Методические аспекты решения экстремальных задач физического содержания в 10-11 классах средней школы

Автор: Татьяна Александровна Редникова

Методические аспекты решения экстремальных задач физического содержания в 10-11 классах средней школы

 

Задачи на определение минимальных и максимальных физических величин редко встречаются в задачниках по физике для старших классов средней школы. Такие задачи предлагаются в разделе задач повышенной трудности в КИМах по физике, предлагаемых на ЕГЭ, в заданиях на физических олимпиадах и в задачниках физико-математических школ, работающих при ВУЗах. Экстремальные задачи физического содержания опираются на межпредметные связи курсов физики и математики. Поэтому с одной стороны они вызывают интерес у школьников, с другой стороны учащиеся нередко испытывают затруднения при решении таких задач. Решение экстремальных задач рекомендуется начинать в рамках элективных курсов уже в девятом классе, и продолжать в десятом и одиннадцатом. Решение экстремальных задач физического содержания предполагает не только хорошее знание теоретических основ физики и математики, но также требует творческого подхода, проявления сообразительности и изобретательности.

В процессе формирования навыков самостоятельной работы у школьников значительное место выделяется решению физических задач. И в этом случае задачи с экстремальными значениями физических величин заслуживают особого внимания.

Значительное количество физических величин способно принимать экстремальное значение. В эту группу можно отнести координаты тел, скорость, ускорение, силу, импульс, работу, энергию и так далее. В задачах часто встречаются требования найти максимальную амплитуду колебаний, наибольшую скорость фотоэлектронов в результате их вырывания с поверхности металла, набольшую дальность полета и тому подобное. В этом случае от школьника требуется не просто глубоко понимать описываемый физический процесс, но применить знакомые законы в новой ситуации. Выбор математического метода решения той или иной задачи тоже может вызвать у подростка затруднение. Перед учителем стоит задача обучения учащихся принципам решения таких задач, знакомство их с алгоритмами решения.

Классификация экстремальных задач физического содержания может с точки зрения раздела физики, к которому данная задача относится или по виду экстремума, который требуется определить. В некоторых задачах какая-то физическая величина достигает своего максимального значения при минимальном значении другой величины. Встречаются задачи, где  некоторая физическая величина достигает своего максимального значения при максимальном (или минимального при минимальном) значении второй величины.

Для успешного решения задачи требуется её проанализировать: познакомиться с условиями задачи, записать исходные данные, воспроизвести физическую модель рассматриваемого процесса, сделать рисунок, записать необходимые физические формулы, выявить условия достижения физической величиной своего экстремального значения. В отдельных задачах экстремальные значения задаются неявно.

Рассмотрим методические рекомендации к решению задач по виду экстремума, который необходимо определить.

1. Задачи, в которых физические величины одновременно достигают максимального или минимального значения (например, кинетическая энергия тела в механике принимает минимальное значение при минимальном значении его скорости). Рассматривая на занятии задачи такого типа, важно обратить внимание школьников, что физическая величина может принять минимальное значение равное нулю в определенный момент времени.

Таблица 1

Задачи на расчет экстремума физической величины, в которых физические величины одновременно достигают максимального или минимального значения

№	Пример задачи	На что обратить внимание при решении
1.	Дана сферическая поверхность радиуса R. На шероховатой поверхности сферы располагается тело. Угол между вертикалью и радиус-вектором тела α. Коэффициент трения μ. Определить максимальную угловую скорость тела, при которой оно еще будет удерживаться на поверхности сферы.	Отмечаем, что угловая скорость принимает максимальное значение при максимальном значении углового ускорения. Если угловая скорость будет меньше максимальной, то тело упадет с поверхности сферы.
2.	Тележка располагается на наклонной плоскости высотой Н. Она начинает скатываться по этой наклонной плоскости. Траектория движения переходит в вертикальную петлю. Определить минимальную высоту наклонной горки, при которой тележка совершит полный оборот по петле. Описать, каким будет движение тележки, если высота горки окажется меньше минимальной.	Следует принять во внимание, что при минимальной высоте наклонной плоскости центростремительное ускорение в мертвой петле и скорость в верхней точке петли тоже будут минимальными. Используя второй закон Ньютона и закон сохранения энергии, мы определим, что минимальная высота наклонной плоскости согласно условиям задачи составит величину в 2,5 большую радиуса мертвой петли. Если высота горки будет меньше, то центростремительное ускорение и скорость в верхней точке петли так же примут меньшее значение. Тележка не сможет сделать полный оборот по петле.
3.	В воде плавает льдина, объем которой 2м3. Вычислить минимальную силу, позволяющую эту льдину полностью погрузить в воду.	В задачах на применение условий плавания тел, плотность которых меньше плотности жидкости, для полного погружения такого тела в жидкость затрачивается минимальная сила, если это тело в жидкости будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения (т.е. ускорение равно нулю).

 

2. Задачи, в которых какая-то физическая величина достигает своего максимального значения при минимальном значении другой величины (или наоборот).

Такие условия возникают, например, в задачах на рассмотрение условия равновесия твердого тела – правила моментов сил. Известно, что в случае равновесия тела, имеющего ось вращения, сумма моментов сил, приложенных к этому телу равна нулю

. Момент силы определяется произведением модуля силы на ее плечо. Поэтому минимальная сила, которую можно будет приложить к телу при сохранении его равновесия, возможна при максимальном значении её плеча.

Таблица 2

Задачи на расчет экстремума физической величины, в которых какая-то физическая величина достигает своего максимального значения при минимальном значении другой величины (или наоборот).

№	Пример задачи	На что обратить внимание при решении
1	Высота ступеньки тротуара 0,1м. На тротуар требуется закатить цилиндрический каток массой 100кг и радиусом 0,5м.Какую минимальную силу требуется приложить к оси катка для этого?	К оси катка прикладывается закатывающая сила. К центру масс катка приложена сила тяжести. Плечо силы тяжести – это горизонтальное расстояние от линии действия силы тяжести до тротуара. Минимальное значение закатывающей силы возникает при максимальной длине плеча этой силы. Максимальное плечо – это радиус катка. В результате минимальная сила закатывания катка на тротуар принимает значение 600Н.

 

Экстремальные задачи с физическим содержанием, относящиеся к различным разделам физики тоже имеют свои методические особенности. Рассмотрим эти особенности для задач из раздела механика, законы постоянного тока и электродинамика.

1. В разделе «Механика» рассмотрим задачу на равномерное движение бруска по горизонтальной поверхности. Масса бруска m, коэффициент трения μ. Необходимо рассчитать минимальную силу, которую прикладывают в данном случае. Начинать решение такой задачи следует по алгоритму задач на движение тела под действием нескольких сил. После анализа условия и записи исходных данных нужно сделать рисунок, на котором изобразить тело, действующие на это тело силы. Выбираем удобную систему отсчета. Записываем второй закон Ньютона для данной задачи в векторном виде:

  

Затем проецируем полученное выражение на координатные оси 0х и 0у и получаем зависимость силы, тянущей брусок от угла между векторами силы и перемещения:

 

  

Из полученного выражения следует, что сила принимает минимальное значение при максимальном значении знаменателя данного выражения.

Предположим, что

, где β – некоторый определенный угол. Подставим данное значение в знаменатель:

  

Максимальное значение косинуса угла равно 1.

  

Делаем вывод, что сила F принимает минимальные значения, если

. Следовательно,

  

Эту же задачу можно решить другим способом: геометрическим через векторный треугольник сил.

2. В разделе «Законы постоянного тока» рассмотрим задачу для двух последовательно соединенных резисторов. Сопротивление первого резистора R₁=4 Ом. Напряжение, подаваемое на источник U=12B. Требуется определить сопротивление второго резистора R₂, при котором на этом резисторе будет выделяться максимальная тепловая мощность [18].

Задача решается через нахождение дискриминанта квадратного уравнения. Тепловую мощность на втором резисторе определим по формуле:

  

Преобразуем полученное выражение:

 

  

Эту же задачу можно предложить учащимся решить другими способами (используя вершину параболы или неравенства Коше).

В разделе «Электродинамика» при изучении свойств электрического поля, учащиеся знакомятся с понятиями «напряженность электрического поля» и «потенциал».

Важно, чтобы учащиеся обратили внимание на то, что напряженность поля является его силовой характеристикой, а потенциал – энергетической. Не смотря на то, что потенциал – это вспомогательная характеристика к основной – вектору напряженности электрического поля, но в квантовой физике и микромире силовая характеристика теряет свой смысл, но закон сохранения энергии является фундаментальным и энергетическая характеристика сохраняется. Рассчитывается значение потенциала тоже значительно проще, поскольку не нужно учитывать векторную составляющую, как в случае с напряженностью электрического поля. Поэтому на элективных занятиях по решению экстремальных задач физического содержания в десятом и одиннадцатом классах имеет смысл ввести понятие «векторной и скалярной производной электрического поля». По данным характеристикам векторного поля можно описать все остальные его характеристики. Можно обратить внимание обучаемых, что потенциал электрического поля обладает важным свойством.  Он обладает максимальными или минимальными значениями только на границах этого поля. Знакомим с теоремой Ирншоу, в которой говорится, что устойчивое равновесие системы только кулоновскими силами не может быть обеспечено. При помощи теоремы Ирншоу можно решить задачу на устойчивость равновесия системы зарядов разных знаков.

Рассмотрим задачу на конфигурацию двух положительных и равных по модулю зарядов, расположенных на расстоянии l друг от друга. Пусть в точке О, расположенной на расстоянии х от левого заряда напряженность поля будет равна нулю. Потенциал в этой точке принимает минимальное значение:

   

Из теоремы Ирншоу следует утверждение, что в этой точке потенциал экстремального значения принимать не может. В результате исследования потенциала в точке учащиеся придут к выводу, что точка О особая для потенциала. В ней экстремума не возникает.

Рассмотренный нами подход к решению экстремальных задач физического содержания на внеурочных занятиях позволяет достичь положительных результатов в обучении школьников.