Автор: Смагулова Светлана Игибаевна
Для определения проблем образования в области математики
прежде всего стоит проанализировать результаты стандартной государственной
диагностики 2019–2022 годов.
Всероссийской проверочной работы (ВПР) для 5-го
и 6-го класса
Общего государственного экзамена (ОГЭ)
Единого государственного экзамена (ЕГЭ)
Путём разбора заданий из КИМ, каждое из которых направлено
на проверку конкретных знаний и умений учеников, будут установлены пробелы в
образовании учащихся, а далее – выявлены недостатки как технологий обучения
математике, так и методик диагностики грамотности.
Анализ результатов Всероссийской проверочной работы
по математике в 5 классе (2021 г.), в которой приняли участие
23705 обучающихся 5 классов из Алтайского края. ВПР по математике для 5 класса
основаны на системно-деятельностном, компетентностном и уровневом подходах
(табл. 3) [24
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003400320039003800350036000000
].
Пример заданий по ВПР-5, система оценивания выполненной
работы с требуемыми умениями для выполнения каждого задания приведены в Приложении
1 (табл. 1). В таблице 2 отражены рекомендации по переводу первичных баллов в
отметки пятибалльной шкалы.
После подробного рассмотрения типов заданий и системы
оценивания, следует перейти к результатам
выполнения работ, сравнив динамику баллов за последние годы, а также процент
выполнения каждого типа задания за 2019, 2020, 2021 гг (табл. 3). По данным
диаграммы (рис. 2), можно составить по каждой оценке цепочку сравнений
результатов за три года:
−
«2» – 2019 – 2021 – 2020;
−
«3» – 2019 – 2020 – 2021;
−
«4» – 2020 – 2021 – 2019;
−
«5» – 2020 – 2021 – 2019.
Итак, наилучшие результаты были показаны в 2019 году:
большее количество отметок «4» и «5», меньшее – «2» и «3». В 2021 году больше
всего учеников получило оценку «3», остальные отметки находятся по середине
относительно 2019 и 2020.
2020 год характерен худшей успеваемостью пятиклассников:
большее количество двоек, почти 40% учеников в 2020 году получили тройки. Успешность
выполнения работ в регионе в 2021 г. лучше 2020 г., но, по сравнению с 2019 г.,
ухудшилась.
Такие низкие результаты учеников в 2020 г. могут быть
обусловлены изменением формата обучения – с апреля по май дети обучались в
дистанционном режиме – из-за резкого перехода в информационную среду и учителя,
и обучающиеся столкнулись с определёнными трудностями (платформа для проведения
занятий, общение в чатах для выдачи домашнего задания и сдачи его учениками). В
2021 г. ученики вернулись к привычному обучению, что скорее всего приблизило
показатели успешности выполнения к соответствующим цифрам 2019 г. Однако
качество знаний в 2021 г. не достигло уровня 2019 г. (разница 7,5%), что,
говорит о необходимости принятия мер в регионе в образовательных организациях
(табл. 4).
В параграфе 2.2 более подробно проанализирован процент
правильного выполнения каждого задания ВПР каждой группой учеников. Группы
разделяются по полученным отметкам («2», «3», «4», «5»). Вывод, полученный на
основании анализа диаграммы (рис. 1), позволяет выделить наличие
системных проблем – неумение:
−
находить число по его части;
−
решать задачи на проценты;
−
использовать пространственные представления;
−
решать задания повышенного уровня сложности с
логическими обоснованиями.
Анализ результатов всероссийской проверочной работы
по математике в 6 классе (2021 г.) [24
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003400320039003800350036000000
]
В мониторинге в 2021 году приняли участие 23651
обучающийся 6 классов из Алтайского края. Характеристика заданий, перевод
баллов и средний процент выполнения ВПР-6
представлены таблицами 5, 6 и 8.
Стоит сравнить результаты выполнения заданий разными
группами («2», «3», «4», «5») в 2021 г. Данные, приведённые на рисунке 4,
отражают процент правильного выполнения каждого задания каждой группой. Опираясь
на диаграмму (рис. 3), можно составить по каждой оценке цепочку сравнений
результатов за три года:
−
«2» – 2019 – 2021 – 2020;
−
«3» – 2019 – 2020 – 2021;
−
«4» – 2020 – 2021 – 2019;
−
«5» – 2020 – 2021 – 2019.
Зависимости межгодовых показателей в целом не отличаются
от сравнения процентов между группами 5-х классов тех же лет.
Общая успешность выполнения работы по математике в регионе
в 2021 г. по сравнению с 2020 г. улучшилась, но, по сравнению с 2019 г.,
ухудшилась (табл. 7).
Сравнив
соответствующие показатели 6-х классов год назад (т.е. когда шестиклассники
были пятиклассниками), можно заметить резкое ухудшение математической
подготовки обучающихся от 5 к 6 классу:
|
Характеристики для |
Результаты ВПР |
|||
|
5 класс (2019) |
Те же ученики, перешедшие |
5 класс (2020) |
Те же ученики, перешедшие |
|
|
Успешность выполнения |
88,3 |
77,4 |
79,5 |
84,11 |
|
Качество математических |
51,6 |
28,1 |
40,3 |
34,48 |
Если анализировать результаты 2019 г. и 2021 г., процент
выполнения заданий в 6-х классах, можно сделать следующий вывод о динамике в
решении заданий, проверяющих умения:
−
оперировать на базовом уровне понятиями «целое
число», «обыкновенная дробь» (заметный спад выполнения задания 1 и 2);
−
находить число по его части (критический спад
более, чем на 30% без учёта прироста количества учеников почти на 12% – №3);
−
оперировать понятием модуль числа (критический
спад – №7);
−
работать с обыкновенными дробями и смешанными
числами (значительный спад – №9);
−
решать несложные логические задачи (критический
спад – №10);
−
решать текстовые задачи на проценты (критический
спад – №11);
−
выполнять геометрические построения (критический
спад – №12);
−
проводить логические обоснования (небольшое
улучшение – 13).
ОГЭ по математике [26
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003400330030003100320037000000
]
На основании таблицы 10, видно: количество отметок «5»,
«4», «3» за 2021 и 2022 г. приблизилось к высоким показателям успеваемости 2018
г. Однако число «2» и в количественном, и в процентном соотношении занимает
второе место среди четырёх лет.
Сдающие ОГЭ в 2022 г. посещали занятия в привычном формате
весь 8 и 9 класс, поэтому образовательный процесс проходил более качественно
под руководством преподавателей и с дополнительными элективными курсами, в то
время 9-е классы 2021 г. занимались дистанционно практически полное учебное
полугодие 8-го класса и их результаты ниже.
Характеристика ЕГЭ по математике базового уровня.
ЕГЭ по математике на базовом уровне включает 21 задание с
кратким ответом, которые направлены на проверку освоения базовых умений и
навыков применения математических знаний.
В экзаменационной работе проверяется следующий учебный
материал: Математика, 5–6 классы — Алгебра, 7–9 классы — Алгебра и начала
анализа, 10–11 классы — Теория вероятностей и статистика, 7–9 классы —Геометрия,
7–11 классы. Образец КИМ содержится в Приложении 4.
Количество участников ЕГЭ 2019–2022, итоги анализа
выполнения заданий, заданий разными группами успеваемости представлены таблицами
11 (и рис. 6), 13, 12). На основе данных можно выделить элементы содержания и
виды деятельности, которые в среднем усвоены достаточны, но требуют проработки
для учеников группы «2», и закрепления для группы «3»:
−
выполнение вычислений и преобразований;
−
выполнение действий с функциями.
Элементы содержания и видов деятельности, усвоение которых
всеми школьниками Алтайского края в целом нельзя считать достаточным:
−
выполнение действия с геометрическими фигурами;
−
умение строить и исследовать ПММ.
Итак, приведённые результаты ВПР и ГИА показывают главным
образом отрицательную динамику. Большая часть учеников из различных классов
совершает систематические ошибки при арифметических и алгебраических операциях,
что и говорить тогда о заданиях повышенного уровня сложного, до которого
экзаменуемые просто не доходят. Поэтому в параграфе 1.2 рассматриваются
методики обучения действиям с числами для выявления слабых сторон современной
образовательной деятельности.
1.2 Методики обучения математическим
действиям с числами
Любой школьный курс изучения математики строится на
принципе «от простого к сложному», в частности это касается изучения числовых
множеств: программа постепенно расширяет числовые множества, обучающиеся начинают
знакомство с математикой с самой небольшой группой чисел и в процессе одиннадцати
лет школьного обучения углубляют знания (табл. 14).
Принцип изучения каждого нового множества чисел, как
правило, состоит из двух этапов: знакомство с данным множеством и изучение
действий над числами множества.
Обычно множества N и Z вызывают наименьшие трудности у учеников, а при знакомстве с
рациональными числами, возникают проблемы уже на этапе изучения обыкновенных
дробей. Поэтому далее хочется рассмотреть методики обучения, раскрывающие пути
формирования у детей умений выполнять действия с обыкновенными дробями. Выявить
недостатки приёмов и техник, рассмотреть сложности, возникающие у обучающихся
как следствия этих недостатков, и предложить возможные пути преодоления
затруднений.
Предлагается рассмотреть развитие методик обучения
разделу обыкновенных дробей с самых истоков.
Система А. В. Грубе.
Первую методическую систему преподавания обыкновенных
дробей предложил ещё в начала XIX века немецкий педагог А.В. Грубе. Его
методика главным образом выстроена на ассоциативном типе мышления. Он заметил,
что ещё на этапе изучения натуральных чисел дети знакомятся с понятием «доли»,
разлагая числа на сумму единиц
.
Поэтому он предположил, что само понимание обыкновенных
дробей в их изолированном состоянии (то есть без выполнения действий) освоить
будет просто: «Последующее изучение дроби, как части единицы, представит им
мало затруднений, тем более что процесс этого изучения тот же самый, как и для
целых чисел». Курс распадается на два полугодия: наглядное всестороннее
изучение дроби и действие с дробями по правилам.
Программа В. А. Евтушевского.
Метод Грубе перенял и распространил в России В. А.
Евтушевский. Однако он выступал за сокращения курса по обучению обыкновенным
дробям, а также за применение наглядных пособий — арифметических счёт.
Евтушевский предлагал выполнять операции с обыкновенными дробями не по
алгоритму, а на основе представления о дроби. Например, чтобы преобразовать
неправильную дробь в целое или смешанное число, необходимо было рассмотреть,
сколько данная неправильная дробь содержит дробей равных единице. А приведение
дробей к общему знаменателю или же сокращение осуществлялось посредством
составления табличек:
Все действия над дробями выполнялись с помощью счёт. Это
привело к тому, что без них ученики были беспомощны. Также, правила умножения и
деления на дробь ученики выводили с помощью учителя без теоретической
подготовки уже в ходе решения задач по нахождению части от числа и числа по его
части.
По замыслу автора метода изучения чисел основу
формирования понятия и операций с дробями должны были составлять практические
действия, поэтому теоретические знания школьникам не давались, представления
учащихся о дроби не были обобщены и систематизированы.
В.А. Латышев предложил «метод изучения действий».
Обучение, основанное на этом методе, способствовало значительному повышению
уровня теоретической подготовки учащихся. Однако математические закономерности
зачастую не были подкреплены реальными знаниями, лишены базы чувственного
восприятия: операции, производившиеся учениками, не выходили за теоретические рамки
задания.
Позже при изучении дробей стали сочетать «метод изучения
чисел» и «метод изучения действий».
С. И. Шохор-Троцкий (1935 г.) разделил
учение о дробях на две ступени.
Начиная с Шохор-Троцкого, методика изучения дробей стала
развиваться по двум направлениям:
−
начальная школа – представление о дроби и ее
свойствах на наглядной основе долей;
−
средняя школа – правила и алгоритмы выполнения
операций с опорой на теоретические рассуждения.
«Методика преподавания математики в средней школе»
В.М. Брадиса (1951 г.) –характерное методическое пособие середины XX
века. Автор, помимо программы преподавания математики, приводит:
−
отличия математики-предмета от математики-науки;
−
ошибки учителей и учащихся, приводящих к
формализму;
−
анализ учебников «Арифметика» А. П. Киселева,
переработанного профессором А. Я. Хинчиным (1948 г.), и «Сборника задач и
упражнении по арифметике» Е. С. Березанской (1948 г.) [
REF _Ref122356797 \n \h 4
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003300350036003700390037000000
].
Автор критикует способы изложения законов арифметических
действий, которые составители учебников излагают с нуля, игнорируя имеющийся опыт
действия над натуральными и целыми числами. Брадис придерживается логики
изложения С. И. Шохор-Троцкого. Нововведение в методике Брадиса – стремление внедрить
математический язык формул и буквенных выражений. Например, он предлагал
рассмотреть, как влияет на величину дроби увеличение в несколько раз числителя
и знаменателя
. Таким образом, знания о дробях, получаемые школьниками
в начальной и средней школе, были не связаны между собой, не было
преемственности между начальной и старшей школой. Парадоксально, что автор
методики предлагает вводить деление дробей аналогичному тому, как оно вводится
в начальной школе при изучении деления натуральных чисел.
В середине XX века при исследовании психологии усвоения
обыкновенных дробей, было отмечено, что этот учебный материал очень сложен для
школьников [
REF _Ref122357776 \n \h \* MERGEFORMAT 18
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003300350037003700370036000000
].
Чтобы добиться прочного усвоения учебного материала, И. Н. Шевченко
(1958) предлагал использовать знания школьников в области целых чисел, как
фундамент для изучения дробей [19
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003300350037003800360036000000
].
Методика Шевченко создает преемственность между
представлениями о дроби, полученными в начальной школе, и теоретическими
знаниями, изучаемыми в старших классах.
Буквенные выражения автор вводит позже, чем это делал
Брадис – при изучении операции сложения дробей с равными знаменателями.
В методике придаётся большое значение наглядности при
изучении образования и операций с дробными числами. Центральное место Шевченко
отводил показу принципа: увеличение числителя — увеличение дроби, увеличение
знаменателя — её уменьшение, ещё до изучения основного свойства дроби. Такой
подход основан на проведении ассоциации с изменением частного при изменении
делимого и делителя.
Большое значение осмысленным практическим действиям с долями
как пропедевтики изучения обыкновенных дробей придают многие математики. При
попытках сокращения материала по этой теме, качество освоения всего раздела
многократно снижалось.
Для определения проблем образования в области математики
прежде всего стоит проанализировать результаты стандартной государственной
диагностики 2019–2022 годов на примерах:
−
Всероссийской проверочной работы (ВПР) для 5-го
и 6-го класса;
−
Общего государственного экзамена (ОГЭ);
−
Единого государственного экзамена (ЕГЭ)
Путём разбора заданий из КИМ, каждое из которых направлено
на проверку конкретных знаний и умений учеников, будут установлены пробелы в
образовании учащихся, а далее – выявлены недостатки как технологий обучения
математике, так и методик диагностики грамотности.
Анализ результатов Всероссийской проверочной работы
по математике в 5 классе (2021 г.), в которой приняли участие
23705 обучающихся 5 классов из Алтайского края. ВПР по математике для 5 класса
основаны на системно-деятельностном, компетентностном и уровневом подходах
(табл. 3) [24
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003400320039003800350036000000
].
Пример заданий по ВПР-5, система оценивания выполненной
работы с требуемыми умениями для выполнения каждого задания приведены в Приложении
1 (табл. 1). В таблице 2 отражены рекомендации по переводу первичных баллов в
отметки пятибалльной шкалы.
После подробного рассмотрения типов заданий и системы
оценивания, следует перейти к результатам
выполнения работ, сравнив динамику баллов за последние годы, а также процент
выполнения каждого типа задания за 2019, 2020, 2021 гг (табл. 3). По данным
диаграммы (рис. 2), можно составить по каждой оценке цепочку сравнений
результатов за три года:
−
«2» – 2019 – 2021 – 2020;
−
«3» – 2019 – 2020 – 2021;
−
«4» – 2020 – 2021 – 2019;
−
«5» – 2020 – 2021 – 2019.
Итак, наилучшие результаты были показаны в 2019 году:
большее количество отметок «4» и «5», меньшее – «2» и «3». В 2021 году больше
всего учеников получило оценку «3», остальные отметки находятся по середине
относительно 2019 и 2020.
2020 год характерен худшей успеваемостью пятиклассников:
большее количество двоек, почти 40% учеников в 2020 году получили тройки. Успешность
выполнения работ в регионе в 2021 г. лучше 2020 г., но, по сравнению с 2019 г.,
ухудшилась.
Такие низкие результаты учеников в 2020 г. могут быть
обусловлены изменением формата обучения – с апреля по май дети обучались в
дистанционном режиме – из-за резкого перехода в информационную среду и учителя,
и обучающиеся столкнулись с определёнными трудностями (платформа для проведения
занятий, общение в чатах для выдачи домашнего задания и сдачи его учениками). В
2021 г. ученики вернулись к привычному обучению, что скорее всего приблизило
показатели успешности выполнения к соответствующим цифрам 2019 г. Однако
качество знаний в 2021 г. не достигло уровня 2019 г. (разница 7,5%), что,
говорит о необходимости принятия мер в регионе в образовательных организациях
(табл. 4).
В параграфе 2.2 более подробно проанализирован процент
правильного выполнения каждого задания ВПР каждой группой учеников. Группы
разделяются по полученным отметкам («2», «3», «4», «5»). Вывод, полученный на
основании анализа диаграммы (рис. 1), позволяет выделить наличие
системных проблем – неумение:
−
находить число по его части;
−
решать задачи на проценты;
−
использовать пространственные представления;
−
решать задания повышенного уровня сложности с
логическими обоснованиями.
Анализ результатов всероссийской проверочной работы
по математике в 6 классе (2021 г.) [24
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003400320039003800350036000000
]
В мониторинге в 2021 году приняли участие 23651
обучающийся 6 классов из Алтайского края. Характеристика заданий, перевод
баллов и средний процент выполнения ВПР-6
представлены таблицами 5, 6 и 8.
Стоит сравнить результаты выполнения заданий разными
группами («2», «3», «4», «5») в 2021 г. Данные, приведённые на рисунке 4,
отражают процент правильного выполнения каждого задания каждой группой. Опираясь
на диаграмму (рис. 3), можно составить по каждой оценке цепочку сравнений
результатов за три года:
−
«2» – 2019 – 2021 – 2020;
−
«3» – 2019 – 2020 – 2021;
−
«4» – 2020 – 2021 – 2019;
−
«5» – 2020 – 2021 – 2019.
Зависимости межгодовых показателей в целом не отличаются
от сравнения процентов между группами 5-х классов тех же лет.
Общая успешность выполнения работы по математике в регионе
в 2021 г. по сравнению с 2020 г. улучшилась, но, по сравнению с 2019 г.,
ухудшилась (табл. 7).
Сравнив
соответствующие показатели 6-х классов год назад (т.е. когда шестиклассники
были пятиклассниками), можно заметить резкое ухудшение математической
подготовки обучающихся от 5 к 6 классу:
|
Характеристики для |
Результаты ВПР |
|||
|
5 класс (2019) |
Те же ученики, перешедшие |
5 класс (2020) |
Те же ученики, перешедшие |
|
|
Успешность выполнения |
88,3 |
77,4 |
79,5 |
84,11 |
|
Качество математических |
51,6 |
28,1 |
40,3 |
34,48 |
Если анализировать результаты 2019 г. и 2021 г., процент
выполнения заданий в 6-х классах, можно сделать следующий вывод о динамике в
решении заданий, проверяющих умения:
−
оперировать на базовом уровне понятиями «целое
число», «обыкновенная дробь» (заметный спад выполнения задания 1 и 2);
−
находить число по его части (критический спад
более, чем на 30% без учёта прироста количества учеников почти на 12% – №3);
−
оперировать понятием модуль числа (критический
спад – №7);
−
работать с обыкновенными дробями и смешанными
числами (значительный спад – №9);
−
решать несложные логические задачи (критический
спад – №10);
−
решать текстовые задачи на проценты (критический
спад – №11);
−
выполнять геометрические построения (критический
спад – №12);
−
проводить логические обоснования (небольшое
улучшение – 13).
ОГЭ по математике [26
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003400330030003100320037000000
]
На основании таблицы 10, видно: количество отметок «5»,
«4», «3» за 2021 и 2022 г. приблизилось к высоким показателям успеваемости 2018
г. Однако число «2» и в количественном, и в процентном соотношении занимает
второе место среди четырёх лет.
Сдающие ОГЭ в 2022 г. посещали занятия в привычном формате
весь 8 и 9 класс, поэтому образовательный процесс проходил более качественно
под руководством преподавателей и с дополнительными элективными курсами, в то
время 9-е классы 2021 г. занимались дистанционно практически полное учебное
полугодие 8-го класса и их результаты ниже.
Характеристика ЕГЭ по математике базового уровня.
ЕГЭ по математике на базовом уровне включает 21 задание с
кратким ответом, которые направлены на проверку освоения базовых умений и
навыков применения математических знаний.
В экзаменационной работе проверяется следующий учебный
материал: Математика, 5–6 классы — Алгебра, 7–9 классы — Алгебра и начала
анализа, 10–11 классы — Теория вероятностей и статистика, 7–9 классы —Геометрия,
7–11 классы. Образец КИМ содержится в Приложении 4.
Количество участников ЕГЭ 2019–2022, итоги анализа
выполнения заданий, заданий разными группами успеваемости представлены таблицами
11 (и рис. 6), 13, 12). На основе данных можно выделить элементы содержания и
виды деятельности, которые в среднем усвоены достаточны, но требуют проработки
для учеников группы «2», и закрепления для группы «3»:
−
выполнение вычислений и преобразований;
−
выполнение действий с функциями.
Элементы содержания и видов деятельности, усвоение которых
всеми школьниками Алтайского края в целом нельзя считать достаточным:
−
выполнение действия с геометрическими фигурами;
−
умение строить и исследовать ПММ.
Итак, приведённые результаты ВПР и ГИА показывают главным
образом отрицательную динамику. Большая часть учеников из различных классов
совершает систематические ошибки при арифметических и алгебраических операциях,
что и говорить тогда о заданиях повышенного уровня сложного, до которого
экзаменуемые просто не доходят. Поэтому в параграфе 1.2 рассматриваются
методики обучения действиям с числами для выявления слабых сторон современной
образовательной деятельности.
1.2 Методики обучения математическим
действиям с числами
Любой школьный курс изучения математики строится на
принципе «от простого к сложному», в частности это касается изучения числовых
множеств: программа постепенно расширяет числовые множества, обучающиеся начинают
знакомство с математикой с самой небольшой группой чисел и в процессе одиннадцати
лет школьного обучения углубляют знания (табл. 14).
Принцип изучения каждого нового множества чисел, как
правило, состоит из двух этапов: знакомство с данным множеством и изучение
действий над числами множества.
Обычно множества N и Z вызывают наименьшие трудности у учеников, а при знакомстве с
рациональными числами, возникают проблемы уже на этапе изучения обыкновенных
дробей. Поэтому далее хочется рассмотреть методики обучения, раскрывающие пути
формирования у детей умений выполнять действия с обыкновенными дробями. Выявить
недостатки приёмов и техник, рассмотреть сложности, возникающие у обучающихся
как следствия этих недостатков, и предложить возможные пути преодоления
затруднений.
Предлагается рассмотреть развитие методик обучения
разделу обыкновенных дробей с самых истоков.
Система А. В. Грубе.
Первую методическую систему преподавания обыкновенных
дробей предложил ещё в начала XIX века немецкий педагог А.В. Грубе. Его
методика главным образом выстроена на ассоциативном типе мышления. Он заметил,
что ещё на этапе изучения натуральных чисел дети знакомятся с понятием «доли»,
разлагая числа на сумму единиц
.
Поэтому он предположил, что само понимание обыкновенных
дробей в их изолированном состоянии (то есть без выполнения действий) освоить
будет просто: «Последующее изучение дроби, как части единицы, представит им
мало затруднений, тем более что процесс этого изучения тот же самый, как и для
целых чисел». Курс распадается на два полугодия: наглядное всестороннее
изучение дроби и действие с дробями по правилам.
Программа В. А. Евтушевского.
Метод Грубе перенял и распространил в России В. А.
Евтушевский. Однако он выступал за сокращения курса по обучению обыкновенным
дробям, а также за применение наглядных пособий — арифметических счёт.
Евтушевский предлагал выполнять операции с обыкновенными дробями не по
алгоритму, а на основе представления о дроби. Например, чтобы преобразовать
неправильную дробь в целое или смешанное число, необходимо было рассмотреть,
сколько данная неправильная дробь содержит дробей равных единице. А приведение
дробей к общему знаменателю или же сокращение осуществлялось посредством
составления табличек:
Все действия над дробями выполнялись с помощью счёт. Это
привело к тому, что без них ученики были беспомощны. Также, правила умножения и
деления на дробь ученики выводили с помощью учителя без теоретической
подготовки уже в ходе решения задач по нахождению части от числа и числа по его
части.
По замыслу автора метода изучения чисел основу
формирования понятия и операций с дробями должны были составлять практические
действия, поэтому теоретические знания школьникам не давались, представления
учащихся о дроби не были обобщены и систематизированы.
В.А. Латышев предложил «метод изучения действий».
Обучение, основанное на этом методе, способствовало значительному повышению
уровня теоретической подготовки учащихся. Однако математические закономерности
зачастую не были подкреплены реальными знаниями, лишены базы чувственного
восприятия: операции, производившиеся учениками, не выходили за теоретические рамки
задания.
Позже при изучении дробей стали сочетать «метод изучения
чисел» и «метод изучения действий».
С. И. Шохор-Троцкий (1935 г.) разделил
учение о дробях на две ступени.
Начиная с Шохор-Троцкого, методика изучения дробей стала
развиваться по двум направлениям:
−
начальная школа – представление о дроби и ее
свойствах на наглядной основе долей;
−
средняя школа – правила и алгоритмы выполнения
операций с опорой на теоретические рассуждения.
«Методика преподавания математики в средней школе»
В.М. Брадиса (1951 г.) –характерное методическое пособие середины XX
века. Автор, помимо программы преподавания математики, приводит:
−
отличия математики-предмета от математики-науки;
−
ошибки учителей и учащихся, приводящих к
формализму;
−
анализ учебников «Арифметика» А. П. Киселева,
переработанного профессором А. Я. Хинчиным (1948 г.), и «Сборника задач и
упражнении по арифметике» Е. С. Березанской (1948 г.) [
REF _Ref122356797 \n \h 4
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003300350036003700390037000000
].
Автор критикует способы изложения законов арифметических
действий, которые составители учебников излагают с нуля, игнорируя имеющийся опыт
действия над натуральными и целыми числами. Брадис придерживается логики
изложения С. И. Шохор-Троцкого. Нововведение в методике Брадиса – стремление внедрить
математический язык формул и буквенных выражений. Например, он предлагал
рассмотреть, как влияет на величину дроби увеличение в несколько раз числителя
и знаменателя
. Таким образом, знания о дробях, получаемые школьниками
в начальной и средней школе, были не связаны между собой, не было
преемственности между начальной и старшей школой. Парадоксально, что автор
методики предлагает вводить деление дробей аналогичному тому, как оно вводится
в начальной школе при изучении деления натуральных чисел.
В середине XX века при исследовании психологии усвоения
обыкновенных дробей, было отмечено, что этот учебный материал очень сложен для
школьников [
REF _Ref122357776 \n \h \* MERGEFORMAT 18
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003300350037003700370036000000
].
Чтобы добиться прочного усвоения учебного материала, И. Н. Шевченко
(1958) предлагал использовать знания школьников в области целых чисел, как
фундамент для изучения дробей [19
08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F005200650066003100320032003300350037003800360036000000
].
Методика Шевченко создает преемственность между
представлениями о дроби, полученными в начальной школе, и теоретическими
знаниями, изучаемыми в старших классах.
Буквенные выражения автор вводит позже, чем это делал
Брадис – при изучении операции сложения дробей с равными знаменателями.
В методике придаётся большое значение наглядности при
изучении образования и операций с дробными числами. Центральное место Шевченко
отводил показу принципа: увеличение числителя — увеличение дроби, увеличение
знаменателя — её уменьшение, ещё до изучения основного свойства дроби. Такой
подход основан на проведении ассоциации с изменением частного при изменении
делимого и делителя.
Большое значение осмысленным практическим действиям с долями
как пропедевтики изучения обыкновенных дробей придают многие математики. При
попытках сокращения материала по этой теме, качество освоения всего раздела
многократно снижалось.