Автор: Тутубалина Светлана Петровна
ОГЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ВВЕДЕНИЕ
Функциональная линия школьного курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курса алгебры. Изучение функций в средней школе позволяет раскрыть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями школьного курса математики, осуществить межпредметные связи.
В школе учащиеся овладевают понятиями функции, ее графика и способов задания; изучают элементарные функции, знакомятся с такими свойствами функций, как область определения, область значения, монотонность, четность и нечетность и другие; учатся применять знания о функциях к изучению разнообразных процессов и явлений.
Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.
Цель: Выявить и изучить области применения функции в окружающей жизни, установить связь математических функций с другими науками, рассмотреть прикладные задачи функциональной зависимости.
Объект исследования: Алгебра.
Теоретическая значимость исследования: Полученные результаты исследования составят полноценное представление о практической значимости квадратичной функции.
Практическая значимость исследования заключается в том, что результаты работы могут быть использованы изучающими квадратичную функцию учениками 7-11 классов
Актуальность: Работа позволяет развивать интерес обучающихся к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике. Мы считаем, что этот проект может помочь заинтересовать обучающихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «функция».
Гипотеза исследования: найти и изучить множество способов задания функциональной зависимости квадратичной функции по взятым графикам, определить некоторые области жизнедеятельности человека, в которых применяется квадратичная функция или её график.
1. ПОНЯТИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x. Принято называть x независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или значением функции. Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x) или у = F (x) и т. п.
График функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют соотношению y = f(x).
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c, где х — независимая переменная, a, b, c некоторые числа, причём a≠0.
В уравнении квадратичной функции: a — старший коэффициент b — второй коэффициент с — свободный член.
Графиком любой квадратичной функции является парабола.
рис. 1
2. ИЗ ИСТОРИИ
Определение функции, которое используется на данном этапе изучения математики, появилось сравнительно недавно — в первой половине XIX века. Оно формировалось более 200 лет под влиянием бурных споров выдающихся математиков нескольких поколений.
Исследованием функциональных зависимостей между величинами начали заниматься еще ученые древности. Этот поиск нашел отражение в открытии формул для вычисления площадей и объемов некоторых фигур. Примерами табличного задания функций могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и арабов.
Однако лишь в первой половине XVII века своим открытием метода координат выдающиеся французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) заложили основы для возникновения понятия функции.
В своих работах они исследовали изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.
Важную роль в формировании понятия функции сыграли работы великого английского ученого Исаака Ньютона (1643-1727). Под функцией он понимал величину, которая изменяет свое значение с течением времени.
Термин «функция» (от латинского functio — совершение, выполнение) ввел немецкий математик Георг Лейбниц (1646-1716).
Он и его ученик, швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) под функцией понимали формулу, связывающую одну переменную с другой, то есть отождествляли функцию с одним из способов ее задания.
Дальнейшему развитию понятия функции во многом способствовало выяснение истины в многолетнем споре выдающихся математиков Леонарда Эйлера (1707-1783) и Жана Лерона Д’Аламбера (1717-1783), одним из предметов которого было выяснение сути этого понятия. В результате был сформирован более общий взгляд на функцию как зависимость одной переменной величины от другой, в котором это понятие жестко не связывалось со способом задания функции
В 30-х годах XIX века идеи Эйлера получили дальнейшее развитие в работах выдающихся ученых: русского математика Николая Лобачевского (1792-1856) и немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805-1859). Именно тогда появилось такое определение: переменную величину у называют функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное значение величины у.
Такое определение функции можно и сегодня встретить в школьных учебниках. Однако более современный подход — это трактовка функции как правила, с помощью которого по значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.
Когда на рубеже XIX и XX веков возникла теория множеств и стало ясно, что элементами области определения и области значений совсем не обязательно должны быть числа, то под функцией стали понимать правило, которое каждому элементу множества X ставит в соответствие единственный элемент множества У.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
В архитектуре
Гуляя по городу, мы часто видим дугообразные конструкции. Архитекторы используют параболическую форму в проектировании арок, мостов, куполов, потолков. Во-первых, именно такая форма придает эстетичный вид, во-вторых, параболическим конструкциям присуща прочность, потому что сила, создаваемая нагрузкой на мост или арку, не толкает вниз, а распределяется вдоль дуги, то есть эти строения поддерживают сами себя. В куполах всех храмов и церквей используется этот же принцип.
рис.2 рис.3
рис.4 рис.5
Арочные мосты
Арочный мост — мост с пролётными строениями, основными несущим конструкциями, которых служат арки.
Основные размеры элементов арочных мостов – высота и ширина балок, толщина плиты, высота и ширина арок, количество арматуры и т.п. – окончательно устанавливаются на основании расчета сооружения в соответствии с действующими на сооружение нагрузками и качеством материалов, из которых строится мост.
Выбор толщины арки затруднителен вследствие большого разнообразия факторов, влияющих на этот выбор, таких как величина нагрузки, марка бетона и т.д. Примерно можно принимать: где d – толщина арки, l – расчетный пролет арки.
Также для строения моста необходимо рассчитать максимально возможную нагрузку на конструкцию. Для этого используется формула Журавского.
рис.6 Арочный мост Белелюбского.
В жизни
Параболу можно встретить везде. В объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов, и в других знакомых нам объектах, таких как цветы.
рис.7 Петергоф.
рис.8 рис.9
В науке
Исследование функциональных зависимостей между величинами сыграло важную роль в изучении геометрии, а именно в открытии формул для вычисления площадей и объемов некоторых фигур, в физике при изучении зависимости пути от времени при равноускоренном движении, зависимости мощности электрического тока при постоянном сопротивлении от силы тока, а также в различных областях человеческого знания (баллистика, радиолокация и т.д.).
Квадратичная функция находит применение в создании осветительных приборов (фары), параболических зеркал, при конструировании телескопов.
рис.9 Параболическая антенна. рис. 10 Параболический отражатель
4. Исследование влияния коэффициентов a, b, c, дискриминанта на расположение функции
a)
Проведём исследование, как влияет коэффициент a на расположение функции. Для этого выберем положительные и отрицательные значения коэффициента a (значение a, равное 0, брать нельзя).
Возьмём a=2; 3; 5; -2; -3; -5
Построим графики функций y=2x2; y=3x2; y=5x2; y= -2x2; y= -3x2; y= -5x2
y(x)=2x2 y(x)=3x2 y(x)=5x2
y(x)= -2x2 y(x)= -3x2 y(x)= -5x2
Можно сделать вывод об основной роли коэффициента a на расположение функции: коэффициент a влияет на направление ветвей параболы. При любом положительном значении a ветви параболы направлены вверх, а при отрицательном – вниз. Также можно заметить, что старший коэффициент отвечает за “крутизну” параболы: чем больше a, тем парабола круче, чем меньше, тем парабола шире. Другими словами, чем больше модуль коэффициента a, тем ближе к оси OY расположены ветви параболы.
b) Проведём исследование, как влияет коэффициент b на расположение функции. Для этого выберем положительные, отрицательные и равное нулю значения коэффициента b.
Возьмём b=0; 2; 3; 5; -2; -3; -5
Построим графики функций y=x2; y=x2+2x; y=x2+3x; y=x2+5x; y=x2-2x; y=x2-3x; y=x2-5x
y(x)= x2 y(x)= x2+2x
y(x)= x2+3x y(x)= x2+5x
y(x)= x2-2x y(x)= x2-3x y(x)= x2-5x
Можно сделать вывод о влиянии коэффициента b на график функции: коэффициент b определяет смещение вершины параболы влево или вправо вдоль оси OX. Если коэффициент b равен нулю, вершина параболы расположена в начале координат.
c) Проведём исследование, как влияет коэффициент с на расположение функции. Для этого выберем положительные, отрицательные и равные нулю значения коэффициента c.
Возьмём с=0, 2, 3; 5; -2; -5
Построим графики функций
y(x)=x2+bx-5 y(x)=x2+bx+0 y(x)=x2+bx+2
y(x)=x2+bx+3 y(x)=x2+bx+5 y(x)=x2+bx-2
Вывод: коэффициент показывает точку пересечения параболы с осью OY. Нетрудно заметить, что при положительных значениях c вершина параболы расположена выше оси OX, если значения c отрицательные, то вершина параболы расположена ниже оси OX. Если коэффициент равен нулю, то график параболы проходит через начало системы координат.
Итак, каждый из коэффициентов влияет на расположение функции в прямоугольной системе координат.
5. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ В ЗАДАЧАХ ОГЭ
Квадратичная функция часто встречается в задании 11 ОГЭ по математике.
Например, в сборнике ОГЭ 2023 под редакцией И.В. Ященко видим задание:
При выполнении этого задания будем учитывать влияние коэффициента a на направление ветвей параболы и сразу установим соответствие между графиком функции на рисунке В с формулой под номером 3, так как коэффициент a отрицательный и ветви параболы на графике В направлены вниз. На оставшихся двух графиках ветви параболы направлены вверх, поэтому будем устанавливать соответствие по влиянию коэффициента b на расположение графиков. Зная, что коэффициент b влияет на расположение вершины параболы, найдём координаты вершины параболы из формулы 1. Абсцисса вершины параболы в формуле 1 равна 3,5 , значит, этой формуле соответствует график, изображённый на рисунке Б. Оставшемуся графику на рисунке А соответствует формула под номером 2.
6. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ В ЗАДАЧАХ ЕГЭ
Рассмотрим применение свойств квадратичной функции в задании №10 профильного уровня ЕГЭ, где надо было записать положительную абсциссу точек пересечения прямой и параболы, причем уравнение прямой дано: у=4х+6, а уравнение параболы неизвестно.
Здесь сразу можно увидеть коэффициент с=-4. Коэффициент а>0 и а=2.
Значение коэффициента b можно найти взяв точку, например, (1;1)и подствив ее абсциссу и ординату в уравнение параболы. Имеем, b =3. Решая уравнение 4х+6=2х2+3х-4 имеем х=2,5.
Расмотрим применение свойств квадратичной функции в задании №8 Физические задачи
1) Здесь надо представить траекторию мяча и увидеть решение. А именно, решить уравнение
1+11t-5t2=3 t=2 и 0,2. Затем 2-0,2=1,8с.(это можно увидеть из чертежа параболы) Это и есть ответ
2)Зависимость объёма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс.руб.) задаётся формулой . Выручка предприятия за месяц (в тыс.руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену , при которой месячная выручка составит не менее 210 тыс.руб. Ответ приведите в тыс.руб.
Здесь точно придется читать условие. И решать именно неравенство, а не уравнение.
Поскольку месячная выручка не менее 210 тысяч рублей,
Заключение
В ходе работы над денным проектом были сформулированы строгие определения функции и в частности, квадратичной функции. Было показано, что квадратичная функция присутствует во всех сферах жизни человека. Парабола – одна из кривых, наиболее часто встречающихся в окружающем мире. Практически все, начиная от капель воды и заканчивая системами спутниковой связи, прямо или косвенно, но связано с параболами. Я осознал, что квадратичная функция является «математическим портретом» законов природы и жизненных ситуаций. Показал красоту и значимость математики.
Было доказано, что каждый коэффициент параболы влияет на ее расположение. Выполняя эту работу был приобретен опыт решения задач ОГЭ и ЕГЭ, связанных со свойствами коэффициентов.
И если ученик будет свободно владеть свойствами коэффициентов, сможет без проблем решать задачи ОГЭ и ЕГЭ. Считаю, что данная исследовательская работа может помочь заинтересовать учащихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «квадратичная функция». Работу можно использовать на уроках алгебры при изучении темы «Квадратичная функция», а так же как повторение в старших классах.