Урок по теме Производная сложной функции

Автор: Куванова Светлана Николаевна

Отлично, вот сценарий урока по теме «Производная сложной функции» для студентов технической группы, ориентированный на практическое применение и глубокое понимание концепции.

Тема: Производная сложной функции

Цель: Научить студентов находить производные сложных функций, используя правило цепочки, и применять эти знания для решения прикладных задач.

Задачи:

• Образовательные:
  • Повторить понятие производной и правила дифференцирования основных элементарных функций.
  • Сформулировать и доказать теорему о производной сложной функции (правило цепочки).
  • Отработать навыки нахождения производных сложных функций различной сложности.
• Развивающие:
  • Развивать логическое мышление, умение анализировать и обобщать информацию.
  • Совершенствовать навыки самостоятельной работы и работы в команде.
  • Развивать математическую культуру речи и письма.
• Воспитательные:
  • Воспитывать интерес к математике и ее приложениям в технических областях.
  • Формировать ответственность и аккуратность при выполнении заданий.

Тип урока: Урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.

Оборудование:

• Компьютер или проектор
• Презентация (желательно)
• Доска или флипчарт
• Раздаточный материал с заданиями для самостоятельной работы и работы в группах
• Калькуляторы (опционально)

План урока:

I. Организационный момент (2 минуты)

• Приветствие студентов.
• Проверка готовности к уроку.
• Краткое объявление темы и целей урока.

II. Актуализация знаний (8 минут)

• Вопросы для повторения:
  • Что такое производная функции? (Геометрический и физический смысл)
  • Перечислите основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного, константы).
  • Вспомните производные основных элементарных функций (x^n, sin x, cos x, e^x, ln x).
  • Примеры тривиальных задач на нахождение производной элементарных функций.
• Мотивация: Приведите примеры, когда возникает необходимость дифференцировать сложные функции в технических задачах (например, скорость изменения температуры тела, зависящая от времени через другую функцию, описывающую изменение мощности нагревателя).

III. Изучение нового материала (20 минут)

1. Введение понятия сложной функции (композиции функций):
   • Определение: Сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция. Пример: y = sin(x^2), здесь x^2 – внутренняя функция, sin(u) – внешняя функция.
   • Обозначение: y = f(g(x)), где g(x) – внутренняя функция, f(u) – внешняя функция.
   • Примеры из реальной жизни: Рассмотрите примеры, где одна величина зависит от другой, а та, в свою очередь, зависит от третьей (например, стоимость электроэнергии зависит от потребления, а потребление зависит от времени суток).
2. Формулировка теоремы о производной сложной функции (правило цепочки):
   • Если y = f(u) и u = g(x), причем f и g – дифференцируемые функции, то производная сложной функции y = f(g(x)) равна:
     • y’ = f'(u) * g'(x) или dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
   • Интуитивное объяснение правила: Представьте, что изменение x вызывает изменение u, а изменение u вызывает изменение y. Общее изменение y относительно x равно произведению этих изменений.
3. Доказательство теоремы (краткое, для понимания):
   • Используйте определение производной через предел и свойства пределов. Особое внимание уделить случаю, когда приращение внутренней функции равно нулю (можно рассмотреть отдельно).
4. Примеры нахождения производных простых сложных функций:
   • y = sin(2x)
   • y = (x^2 + 1)^3
   • y = e^(x^2)
   • Подробно разберите каждый шаг, выделяя внутреннюю и внешнюю функции.

IV. Первичное закрепление знаний (25 минут)

1. Работа у доски (10 минут):
   • Вызовите к доске нескольких студентов для решения примеров на применение правила цепочки. Начните с простых примеров и постепенно усложняйте их. Примеры:
     • y = cos(x^3)
     • y = ln(sin x)
     • y = √(x^2 + 4)
     • y = tan(e^x)
   • Обращайте внимание на правильность оформления решения и объяснение каждого шага.
2. Работа в группах (15 минут):
   • Разделите студентов на группы по 3-4 человека.
   • Каждой группе выдайте карточку с заданиями разного уровня сложности (например: найти производную, найти область определения функции и ее производной, найти касательную к графику сложной функции в заданной точке).
   • Примеры заданий для групповой работы:
     • Найти производную функции y = sin^2(x) + cos(2x) и упростить выражение.
     • Найти первую и вторую производные функции y = e^(-x^2/2).
     • Найти уравнение касательной к графику функции y = √(4x + 1) в точке x = 2.
     • Найти производную функции y = arctan(x/3)
   • Обсуждение результатов работы групп.

V. Самостоятельная работа (15 минут)

• Предложите студентам решить несколько задач самостоятельно для закрепления изученного материала. Задачи должны быть разного уровня сложности.
• Примеры задач для самостоятельной работы:
  • y = (5x — 3)^4
  • y = sin(x^2 + 1)
  • y = √(cos x)
  • y = e^(sin x)
  • y = ln(x^2 + 1)
  • Дополнительно: Найти точку экстремума функции y = e^(-x^2).

VI. Подведение итогов урока (5 минут)

• Краткое повторение основных моментов урока:
  • Что такое сложная функция?
  • Как формулируется правило цепочки?
  • Какие шаги нужно выполнить при нахождении производной сложной функции?
• Ответы на вопросы студентов.
• Оценка работы студентов на уроке.
• Объявление домашнего задания.

VII. Домашнее задание

• Решить задачи из учебника или задачника по теме «Производная сложной функции».
• Найти примеры применения производной сложной функции в технических дисциплинах, связанных со специализацией студентов.
• Дополнительное задание (повышенной сложности): Вывести формулу для производной функции y = f(g(h(x))).

Дополнительные рекомендации:

• Визуализация: Используйте графики функций, чтобы продемонстрировать понятие сложной функции и изменение функций под действием дифференцирования.
• Аналогии: Проводите аналогии с другими процессами, где изменение одной величины влияет на другую (например, скорость автомобиля, зависящая от положения педали газа, а положение педали газа – от времени).
• Практическая направленность: Подчеркивайте важность умения находить производные сложных функций для решения задач в различных областях техники. Приводите примеры из физики, электротехники, механики и других дисциплин.
• Интерактивность: Вовлекайте студентов в активное обсуждение, задавайте вопросы, предлагайте решать задачи вместе.
• Дифференцированный подход: Предлагайте задачи разного уровня сложности, чтобы каждый студент мог работать в соответствии со своими возможностями.
• Использование программного обеспечения: Если есть возможность, используйте математическое программное обеспечение (например, Wolfram Mathematica, Maple, Mathcad, GeoGebra) для визуализации функций и проверки результатов дифференцирования.