Автор: Терешенко Валентина Васильевна
Методы изучения геометрических преобразований
Виды геометрических преобразований в школьном курсе геометрии:
1. Движение
2. Подобие
Движение – геометрическое преобразование, при котором расстояние между точками сохраняется: х в х 1, у в у1, следовательно, ху=х1у1 или х1у1=ху.
На доске чертится фигура и такая же фигура на прозрачной пленке. Совершается движение фигуры. Прозрачная пленка позволяет видеть сохранение между точками.
Рассматриваются свойства движения:
1. Транзитивность движений (два движения, выполненные последовательно являются движением).
2. Преобразование, обратное движению, также является движением.
3. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, причем сохраняется порядок взаимного расположения.
Подобие – геометрическое преобразование, при котором расстояние между точками изменяется в одно и то же число раз: х в х 1, у в у1, следовательно, х1у1=kху, (k>0).
При объяснении материала лучше использовать модели: в разном масштабе выполненные иллюстрации, географические карты.
Рассматриваются свойства подобия, аналогичные свойствам движения.
Рассмотрим доказательство третьего свойства для движений по учебнику
А. Атанасяна: «При движении отрезок отображается на отрезок»
1 часть. Дано: АВ, А в А1, В в В1
______________________ _
Доказать: Р1 € А 1В1
Доказательство:
1. т. Р € АВ (по условию), следовательно, АР+РВ=АВ
2. т. А в А1, В в В1, получили фигуру А1В1
3. А в А1, Р в Р1, следовательно, АР=А1Р1, т.к. движение сохраняет расстояние Р в Р1, В в В1, следовательно, РВ= Р1В1…
4. Т.к. движение сохраняет расстояние, то АР в А1Р1, РВ= Р1В1, АВ в А1В1, следовательно, АР+РВ= А1Р1+ Р1В1= А1В1.
Если равны все части, то равна и сумма, следовательно, Р1 € А 1В1.
2 часть. Дано: АВ, А в А1, В в В1
Р1 € АВ, Р в Р1
______________________ _
Доказать: Р € АВ
Доказательство: аналогичное.
Замечание: третье свойство движения имеет следствие.
В учебнике Погорелова это утверждение доказывается методом от противного.
Движение имеет 4 вида для плоскости и 1 для пространства. В планиметрии рассматриваются:
— осевая симметрия;
— центральная симметрия;
— параллельный перенос;
— поворот вокруг точки на угол.
В пространстве рассматривают симметрию относительно плоскости.
1. При изучении видов движения следует рассмотреть определение соответствующих точек. В учебнике Погорелова такие определения даются конструктивно.
2. Основное свойство конкретного движения. Например, осевая симметрия – это движение.
3. Рассматриваются фигуры, имеющие ось или центр симметрии, даются соответствующие определения. Рассматриваются 2 способа доказательства, что фигура обладает осью или центром симметрии.
При изучении осевой и центральной симметрии удобно использовать групповую работу: класс разбивается на 2 группы. Одна изучает осевую симметрию, другая – центральную по учебнику.
На доске пишется заранее задание:
1. Отметьте точку О (прямую g), выберите Х (А) и объясните, как строится Х1 (А1);
2. Объясните, как построить фигуру F1, симметричную F, изображенную на рисунке 188 (192) учебника Погорелова.
3. Как построить отрезок, треугольник, прямую, симметричную данной.
4. Какая фигура называется центрально-симметричной (симметричной относительно прямой).
5. Каким свойством обладает симметрия относительно точки (относительно прямой).
6. Что нужно задать, чтобы центральная (осевая) симметрия считалась заданной?
Последовательность изучения геометрических преобразований в учебниках:
Погорелов А. В.: 8 класс – геометрические преобразования – движение – виды движений – 9 класс – подобие
Атанасян Л. С.: 8 класс – центральная симметрия – осевая симметрия – подобие –
9 класс – движение – параллельный перенос – поворот.
Виды задач, решаемые с помощью геометрических преобразований:
1. Задачи на доказательство равенства фигур с использованием движения;
2. Задачи на построение с помощью движения;
3. Задачи на доказательство пропорциональности отрезков (в прямоугольном треугольнике, в круге, свойства биссектрисы);
4. Задачи на построение, решаемые с помощью подобия;
5. Задачи на вычисление, решаемые с помощью подобия.
Задача. В трапеции АВСД с диагональю АС углы АВС и АСД равны. Найдите диагональ АС, если основание ВС и АД соответственно равны 12 см и 27 см.
1. О какой фигуре идет речь? – О трапеции
2. Из каких фигур можно найти АС? – из треугольника АВС и треугольника АСД
3. Что мы знаем о них? – угол АВС = углу АСД
4. Есть ли еще равные элементы? – угол 3 = углу 4 как накрест лежащие
5. Какой вывод можно сделать? – треугольник АВС подобен треугольнику АСД
6. Коль треугольники подобны, какой вывод можно сделать о соответствующих сторонах? – ВС/АС=АС/АД, следовательно, АС2= ВС=АД
7. Как выразим АС? – АС=√( ВС*АД)=√(12*27)
8. Чему равно АС? — 18